大学入試数学から見る 正しい数学の理解方法 数Ⅲ 複素数平面編 その５

\(|z+w-1-i|\)の最大値は

\(|2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)の最大値であり、

このとき、\(\theta_{1}=\theta_{2}\)となる。

というのまでが、第４回のあらすじである。

このとき、\(z-1=w-i=\cos\theta_{1}+i \sin\theta_{1}\)　であることも付け加えておこう。

今回は\(|z+w|^2\)の最大値を求めるという話なのだが、

前回までのあらすじにより、

\(z=1+\cos\theta_{1}+i \sin\theta_{1}\)　かつ　\(w=i+\cos\theta_{1}+i \sin\theta_{1}\)

はただちに言える。

よって、\(z+w=(1+2\cos\theta_{1})+i(1+2\sin\theta_{1})\)　である。

したがって、

\(|z+w|^2\)

\(=(1+2\cos\theta_{1})^2+(1+2\sin\theta_{1})^2\)

\(=1+4\cos\theta_{1}+4\cos^2\theta_{1}+1+4\sin\theta_{1}+4\sin^2\theta_{1}\)

\(=6+4\sqrt{2}\sin(\theta_{1}+\frac{\pi}{4})\)

ここまでくればあとは何も解説はいらないだろう。

\(|z+w|^2\)の最大値は\(6+4\sqrt{2}\)であり、このとき\(\theta_{1}=\frac{\pi}{4}\)

結局この問題は何だったのかといえば、

複素数平面とそれに関する定義を延々と尋ねるだけの問題であった。

要するに、数学において一番大事なのは、定義の理解にほかならず、

複素数平面が難しいという言葉は全く持って意味不明なのである。

大学入試数学から見る 正しい数学の理解方法 数Ⅲ 複素数平面編 その４

\(z+w-1-i=2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}\)

にたいして、

\(|z+w-1-i|\)の最大値を求めるというのだが、簡単すぎないだろうか？

要するに、\(|2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)

の最大値を求めることに他ならない。

なにしろ、\(|\alpha \beta |=|\alpha ||\beta |\)　となることから、

\(|2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)

\(=2|(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} )|| \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)

と変形すれば、なんとなくオチが見えてくる。

\(|\cos \theta +i \sin \theta |=\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}=1\)であるから、

\(|(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} )|=1\)

となって、

\(|z+w-1-i|=2|\cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)

すなわち結局\(\cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}\)だけ真面目に考えればよいのだ。

これが最大となるとき、\(|\cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|=1\)

であり、\(\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}=0\)

となる。本来は、偏角の大きさから\(\pm k\pi\) ただし\(k\)は整数　としたうえで、上記の1つのみが解であることを示すのだが、今回は\(|k|=1\)さえ、\(\theta_{1}-\theta_{2}=2\pi\)となり、0以外はままならない。

もちろん、\(|z+w-1-i|\)の最大値は\(2\)だし、このとき、\(\theta_{1}=\theta_{2}\)

となる。ではこのときどうなるかといえば、

\(z-1=w-i=\cos\theta_{1}+i \sin\theta_{1}\)

もちろん、\(z-w=1-i\)はただちに言えよう。

結局、この問題は何を目的とした問題かわからずに終わりそうだが、

最後の最後、このときの\(|z+w|^2\)だけは骨がある問題である。

次回に続く。

大学入試過去問 解答解説

完全な趣味です。リクエストがあればコメントから。

2019敬愛大学

2019金沢工業大学

2019岡山理科大学

2019弘前医療福祉大学

2019埼玉医科大学

2019埼玉工業大学

2019城西大学

2019北海道大学医療福祉大学

2019近畿大学文系

2020慶応大学理工

2019酪農学園大学

大学入試数学から見る 正しい数学の理解方法 数Ⅲ 複素数平面編 その３

偏角とは何ぞや、というのが、前回のあらすじだったか。

偏角とは、ある点\(z\)と原点を結ぶ直線が実軸の正の方向となす角の大きさを表す単位である。

つまり、\(z\)の偏角はとりもなおさず、

\(z=r(\cos \theta + \sin \theta )\)を満たす角\(\theta\) に他ならない。

今回は、\(z-1\)の偏角を\(\theta _{1}\)としており、\(|z-1|=1\)であるから、

\(z-1=\cos \theta_{1} + \sin \theta_{1} \)

となる。

同様に、

\(w-i=\cos \theta_{2} + \sin \theta_{2} \)

は言うまでもあるまい。

東海大入試問題に戻れば、\(z+w-1-i\)を求めよなどとのたまうわけで、

単純に辺々を足し合わせて

\(z-1+w-i=\cos \theta_{1} + \sin \theta_{1} +\cos \theta_{2} + \sin \theta_{2} \)

と表されるわけだが、どうも、解答の形に合わない。

解答欄は

ウ\((\cos エ +i \sin エ ) \cos オ\)

の形であり、先ほどの解答では変形の必要性がありそうだ。

ちなみに答えから言えば、

\(z+w-1-i=2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}\)

となり、和積の公式なる三角関数の公式を用いれば変形できる。これをちなみにで論ずる理由は、これは、今回の複素数平面とは関係のない話であって数学Ⅱの内容が分かっているかどうかに過ぎないからだ。和積や三角関数については別の機会にでも。

結果として、きれいな形で式を作れて、次には最大値の議論を始めるのだが、これも三角関数の理解に依存する部分が大きいため、次回に回そう。

今回は偏角とは、定義に当てはめるだけの単純なものであるというのがまとめだ。

高校数学をリタイアした人のための数学 第3回 ～定理と公式ってなんだ？～

正三角形は3辺の長さがすべて等しい三角形である。

今，挙げたのは，正三角形の定義である。思い返せば，小学校のころ，コンパスと定規を使って正三角形を描いていただろう。コンパスは，長さをはかりとる道具であり，定規は直線を引く道具だったはずだ。だとすると，正三角形をかくのに，小学生の我々は，3辺の長さだけに注目していたことがわかる。実に素晴らしい定義である。

 

正三角形の3つの角の大きさはすべて等しい。

今，挙げたのは何だろうか。ちなみに，これが事実であることは，だれも疑うはずがない。最初に正三角形をならう小学生は，正三角形とは辺の長さも角の大きさも同じであることを定規や分度器を使って調べ，真実であることを知るからだ。

では，これは定義だろうか。いや，定義ではない。なぜなら，定義は3辺が等しいという先ほどのものだからだ。では，この正しいとわかっている角の話は…。

勘が良ければ，本章のタイトルに目が行くのかもしれない。要するに，これが『定理』である。

定理とは何かを簡単に言うと，定義や定理から簡単に証明できる事柄のことである。

 

ここで，いったん数学の言葉を紹介する。

命題　真偽がただ一通りに定まる事柄

真　　命題がいつも正しいこと

偽　　命題がいつも正しいとは限らないこと

証明　ある命題が真であると明らかにすること

反例　命題が偽だとわかる例

いろいろな言葉を一気に紹介したので，頭が混乱するといけない。2つの例を挙げておこう。

例1    命題　\(x = 0\)  である　ならば　\(x^2 = 0\) である。

           証明　 \(x=0 \)　であるので， \(x^2 =x \times x=0 \times 0=0\)となるから，

              真偽　この命題は真である。

 

例2    命題　 \(x\) が正の整数である　ならば \(\frac{1}{x} \)は整数でない。

           反例　 \(x=1\)のとき \(\frac{1}{x}=\frac{1}{1}=1　となり， \(\frac{1}{x} \)が整数になる。

           真偽　この命題は偽である。

 

話は前回に戻る。数学者というオタクたちは何をしているのかという話だったが，要するに，命題を作っては，それが真偽いずれなのかを考え，証明するという作業をしている。上の2つの例のように，数学とは，ありとあらゆることを命題と考え，それを示すことでそのものについて分かったと考える学問なのである。先ほど以来，説明が大事とか，正解よりも理解が大事とか申し上げているのは，この考えが根底にあっての話である。

ところで，証明という言葉が出てから，アレルギー反応を起こしている方はいないだろうか。まずは，ご安心いただきたいが，本章では，証明についてあれこれをするつもりは一切ない。なぜなら，証明もまた，数学が苦手になるきっかけであるからだ。ただ，証明の仕方云々はさておき，証明というのが数学の本質であるという認識だけは持っていていただきたい。そう，この価値観の部分が一番相容れない部分であり，数学を嫌いに，苦手になる根本原因なのだ。

 

まあ，そうして証明したことというのは，たいていが使えないものであることが多い。先に紹介したフェルマーの最終定理も現代社会にどう役立っているのかを正しく伝えきることは難しい。

しかし，数学世界の中で役立つことというのは数多くある。そうして，定義から簡単に証明ができて，数学の世界でいくらでも役立たせることができるものを定理と呼んで，しょっちゅう使うことにした。要するに定義とは，偉大なる先人が真であることを証明した，よく使われる命題のことである。だからこそ，定理として皆に知ってもらおう，皆に使ってもらおうという気持ちで善意から教えているのだ。

ここまで長々と書いてはみたが，数学が苦手な方にも是非分かってほしいのは，定義とは違うというその一点である。簡単な言葉でまとめよう。

定義　きまり・ルール

定理　法則・便利機能

ということだ。そして，定理はすべて証明が可能であることも忘れないでほしい。ちなみに，たいていの定理は，教科書の中で証明がされているはずである。

 

定理の類似品として公式というのがある。公式は計算に使える定理　のことである。一般的には，公式内の文字に，数や式を当てはめるだけで答えが出るものを指す。言うまでもないがこれも先人の知恵であり，知っておいて損がないことである。

高校数学をリタイアした人のための数学 第2回 ～定義ってなんだ？～

数学が嫌いになる心理的メカニズムはご理解いただけたことと思う。次に，技術的な話をしよう。つまり，具体的に数学が分からなくなり，数学が嫌いになったきっかけの話だ。

タイトルでネタバレをしているが，要するに，『定義』がすべて悪い，と私は考える。中学校2年生で習うこの言葉は，実は，小学校のうちからさまざまに形を変えて習っていたものであり，算数・数学を本格的に分かるためには，避けては通れない道なのだ。

 

さて，早速『定義』とは何かを説明していく。

 

定義　ある概念内容・語義や処理手続をはっきりと定めること。それを述べたもの。

 

これが意味らしいのだが，要するに，これが『定義』の定義であるわけだ。

定義とは，あるものに意味を持たせ，誰もが同じものを思い浮かべられるように，言葉でつくったきまりのことである。なお，数学者でもない限り，定義は1通りに定める。

こういうのは，例をもって示すのが一番手っ取り早い。

例えば，『三角形』を定義してみよう。

三角形をだれでもわかるように説明してみればよい。まずは，自分なりの答えをかいてみよう。

 

出来ただろうか。では，一番簡単な定義を述べると

3本の直線で囲まれたできた図形

となる。見覚えがあるなら，かなりの記憶力かもしれない。そう，小学校1年生の算数の教科書に載っている表現である。もっとも，元の文はすべてひらがなであったが。

しかし，素晴らしく簡潔な定義である。我々が考えるべきは，本当に，誰もがこの定義から三角形のあの形を想像できるかどうかである。実際にやってみるとよい。

 

やればわかるが，3本の直線で囲もうとすると，平行な直線があるとうまくいかない。また，3本の直線がちょうど1点で交わるときもダメである。

すると，3本の直線で囲まれた図形が出来るとき，たしかにその囲まれた図形というのは三角形の形をしている。しっかりと定義されていることが分かった瞬間である。

もっとも，数学者の皆様方は，これでは不十分だとのたまい始める。点・直線・線分などを厳密に定義することでもっときれいな定義を作ろうとするのだ。まあ，こうして作られるそれこそめんどうな定義についてはここでは取り扱わない。これが正しいというものを例えば私が提示したとしても，数学者の皆様にはご納得していただけないかもしれないからだ。

 

結局定義とは，数学的なめんどうくさいものであることを示しただけに終わったが，ところで，先ほどの三角形，別な定義を考えた方はいないだろうか。例えば，

3つの角を持つ図形

などである。これではダメなのかどうか，という疑問を持つ方もいるだろう。

まずは結論から申し上げる。ダメである。では，なぜダメかという問題が出てくるわけだが，まず根本的に，『定義は偉い人が決めたものだから，そのままの形で覚えなくてはいけないものである』という大原則を知っていただきたい。一般的にはこの時点で，先ほどの定義ではダメであるというのがわかっていただけることであろう。

しかし，気に食わない。数学とかいう理屈をこねくり回す連中が，決まりだから覚える，で納得しているのだろうか。まして，数学を教える側の人間は，普段，途中の考えを～とお説教するクセに，定義だけは覚える，で納得するのか。

 

その答えは，実にシンプルな結論である。実は，先人数学者たちが議論に議論を重ねて現代に使われる定義があり，それ以外のものは，反論が存在するのだ。

では，3つの角を持つ図形を描いて差し上げよう。

 

…どうだろうか。何か反論を考えてもらっても結構である。しかし，たいていかたがつく。

そもそも，角とは何だろう。直線と直線が交わった部分ではなかろうか。つまりは，直線が交わるという表現を使わなければ角を表すことができないのである。

上の図はどうだろう。確かに直線が交わる部分はあるのだが，曲線も含まれている。これがズルいと感じるポイントかもしれない。だったら，先ほどの定義を書き換えてみよう。

3つの角を持つ，直線だけで作られた図形

なるほど，これなら正解かもしれないが，ところで，3つの角を持つためには直線は何本必要かを考えると3本でいいわけで，結局，3本の直線が作るのが3つの角を持つ図形ではないか。

要するに，角の条件は気づくと直線の条件に置き換わっているわけである。そして，角だけで定義を作ろうとすると，結局直線の話をしないわけにはいかないので，二度手間になる。だから，直線だけで定義したほうが良い。という結論になるわけだ。

要するに皆さんが好きに作る定義でももしかしたらよいのかもしれないが，現在，『定義』と呼ばれるものは，歴代の偉大なる数学者の知恵が秘められており，とても簡潔でしっかりしているものである可能性が高い。

数学が苦手になるきっかけはこの定義とかいう言葉だったろうが，今から数学を学ぶならば，今後はこの定義にもっと関心を持つとよいだろう。そこには，数学のめんどうくささがいっぱい詰まっていて，そのめんどうくささこそが数学の本質なのだから。

大学入試数学から見る 正しい数学の理解方法 数Ⅲ 複素数平面編 その２

前回より続く。

さて、\(|w-i|=1\)　を図示した結果だが、

となることを今さら説明する必要はないだろう。

\(i\) という点は原点から虚軸方向に1だけ進んだ点に他ならない。

そこから距離が1の点を集めろと言われれば、半径1の円を描くことになるのも必然だ。

では、早速、東海大学入試問題に取り組もう。

(1) \(z = w\) を満たす複素数を求める。

拍子抜けである。だって、図は完成しており、 \(z = w\) ということは、同時に満たす点、すなわち、2つの軌跡の共有点を求めるだけだ。

早速1つの複素数平面上に図示していくと、

…きれいな図をかくと、ここまで明確になろうとは…。

すなわち求める複素数は、

\(0\)　と　\(1+i\)

である。図から明らかだろう。

これで点がもらえるのだから、東海大学を受ける理系生徒は数学Ⅲを使う方がいいに決まっていると思うのだがなぁ・・・。

では、(2)にうつろう。

\(z-1\)の偏角を\(\theta _{1}\)，\(w-1\)の偏角を\(\theta _{2}\)とおく。ただし，\((0≦\theta_{1}<2\pi) \)，\((0≦\theta_{2}<2\pi) \)とする。

ところで、この場面における偏角とは何か、というのが次の問題になるのだろう。では、次回はそれで。

このブログをご覧の皆様は、偏角とは何かと思いをはせて更新をお待ちいただきたい。