にたいして、
\(|z+w-1-i|\)の最大値を求めるというのだが、簡単すぎないだろうか？
要するに、\(|2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)
の最大値を求めることに他ならない。
なにしろ、\(|\alpha \beta |=|\alpha ||\beta |\) となることから、
\(|2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)
\(=2|(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} )|| \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)
と変形すれば、なんとなくオチが見えてくる。
\(|\cos \theta +i \sin \theta |=\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}=1\)であるから、
\(|(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} )|=1\)
となって、
\(|z+w-1-i|=2|\cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)
すなわち結局\(\cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}\)だけ真面目に考えればよいのだ。
これが最大となるとき、\(|\cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|=1\)
であり、\(\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}=0\)
となる。本来は、偏角の大きさから\(\pm k\pi\) ただし\(k\)は整数 としたうえで、上記の1つのみが解であることを示すのだが、今回は\(|k|=1\)さえ、\(\theta_{1}-\theta_{2}=2\pi\)となり、0以外はままならない。
もちろん、\(|z+w-1-i|\)の最大値は\(2\)だし、このとき、\(\theta_{1}=\theta_{2}\)
となる。ではこのときどうなるかといえば、
\(z-1=w-i=\cos\theta_{1}+i \sin\theta_{1}\)
もちろん、\(z-w=1-i\)はただちに言えよう。
結局、この問題は何を目的とした問題かわからずに終わりそうだが、
最後の最後、このときの\(|z+w|^2\)だけは骨がある問題である。
次回に続く。
