大学入試数学から見る 正しい数学の理解方法 数Ⅲ 複素数平面編 その４

\(z+w-1-i=2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}\)

にたいして、

\(|z+w-1-i|\)の最大値を求めるというのだが、簡単すぎないだろうか？

要するに、\(|2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)

の最大値を求めることに他ならない。

なにしろ、\(|\alpha \beta |=|\alpha ||\beta |\)　となることから、

\(|2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)

\(=2|(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} )|| \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)

と変形すれば、なんとなくオチが見えてくる。

\(|\cos \theta +i \sin \theta |=\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}=1\)であるから、

\(|(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} )|=1\)

となって、

\(|z+w-1-i|=2|\cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)

すなわち結局\(\cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}\)だけ真面目に考えればよいのだ。

これが最大となるとき、\(|\cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|=1\)

であり、\(\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}=0\)

となる。本来は、偏角の大きさから\(\pm k\pi\) ただし\(k\)は整数　としたうえで、上記の1つのみが解であることを示すのだが、今回は\(|k|=1\)さえ、\(\theta_{1}-\theta_{2}=2\pi\)となり、0以外はままならない。

もちろん、\(|z+w-1-i|\)の最大値は\(2\)だし、このとき、\(\theta_{1}=\theta_{2}\)

となる。ではこのときどうなるかといえば、

\(z-1=w-i=\cos\theta_{1}+i \sin\theta_{1}\)

もちろん、\(z-w=1-i\)はただちに言えよう。

結局、この問題は何を目的とした問題かわからずに終わりそうだが、

最後の最後、このときの\(|z+w|^2\)だけは骨がある問題である。

次回に続く。