大学入試数学から見る 正しい数学の理解方法 数Ⅲ 複素数平面編 その５

\(|z+w-1-i|\)の最大値は

\(|2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)の最大値であり、

このとき、\(\theta_{1}=\theta_{2}\)となる。

というのまでが、第４回のあらすじである。

このとき、\(z-1=w-i=\cos\theta_{1}+i \sin\theta_{1}\)　であることも付け加えておこう。

今回は\(|z+w|^2\)の最大値を求めるという話なのだが、

前回までのあらすじにより、

\(z=1+\cos\theta_{1}+i \sin\theta_{1}\)　かつ　\(w=i+\cos\theta_{1}+i \sin\theta_{1}\)

はただちに言える。

よって、\(z+w=(1+2\cos\theta_{1})+i(1+2\sin\theta_{1})\)　である。

したがって、

\(|z+w|^2\)

\(=(1+2\cos\theta_{1})^2+(1+2\sin\theta_{1})^2\)

\(=1+4\cos\theta_{1}+4\cos^2\theta_{1}+1+4\sin\theta_{1}+4\sin^2\theta_{1}\)

\(=6+4\sqrt{2}\sin(\theta_{1}+\frac{\pi}{4})\)

ここまでくればあとは何も解説はいらないだろう。

\(|z+w|^2\)の最大値は\(6+4\sqrt{2}\)であり、このとき\(\theta_{1}=\frac{\pi}{4}\)

結局この問題は何だったのかといえば、

複素数平面とそれに関する定義を延々と尋ねるだけの問題であった。

要するに、数学において一番大事なのは、定義の理解にほかならず、

複素数平面が難しいという言葉は全く持って意味不明なのである。