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2020年8月8日土曜日
2020年8月1日土曜日
英語文法を学ぶべき時期と意義 ～共通テスト英語筆記で文法問題が出題されない件～
われわれ、センター試験全盛期世代にとっては、寝耳に水かもしれないが、わりと大声で叫ばれているところである。そう、英語入試は大いに変化している。
『英語検定騒動の末路』
聞き及んでいるだろうが、「身の丈に合った」大学を受検するという言葉が、差別的な発言であるとの評価を受け、大臣が共通テスト改革の大半を頓挫させた。英語検定を入試の代わりに用いるというのも、おじゃんとなったわけだが、その結果、受験生は代わり映えのない一発勝負の受験英語を対策することになったわけだ。
「身の丈に合った」が金銭的な話をしていたのであれば、確かに配慮に欠けているものであると感じるが、学力的な話をしていたのであれば、至極まっとうに聞こえる、というのは、極論なのだろうか。まあ、お偉方にとっては、金銭＝学力、という図式が成り立っているのだろうし、金持ちが有利になるようにすれば、自分たちが有利になる、という思いは少なからずあるのだとは思うが。
かくして、英語検定は受験には用いられなくなった。
『英語検定導入の理由』
では、「一発勝負の受験英語」とは何ぞやというと、私の文体特有の煽りである。要するに、「永続的に使える実用英語」の対義語として用いている。結局のところ、受験英語ができていたからといって、英会話はできない、というのが読者の皆さんにとっても常識であろうが、さすれば、何のために受験英語をやるのか、という本質的な問だけが残ってしまい、受験英語でしょ？という、帰国子女からのそしりを受けるかもしれないのだ。
では、どうすればいいのか、といえば、入試を英会話にすればいいのであって、それが現実的に困難であるからこそ、統一規格として英語検定を実施しよう、という考えに至ったのだ。
もちろん、既得権益などがそこに働いているのかもしれないが、大義名分としてはほぼ満点のものであり、たとえそこに金の動きがあったとしても、「一発勝負の受験英語」が否定されるべきという点については、大勢の賛同を得られる、はずだった。
『文法についての学習をする必要の有無』
さすれば、文法についての学習は必要なく、英会話をすればいいのであろう、というのが大勢にとってのまとめとなるだろうが、共通テストでは英語文法は問われなくとも、大学個別の試験では問われる可能性がある、という事実をまずは理解しなくてはならない。
また、なぜ、高校に入ったとたん英語文法などを習うのかといえば、語学とは、現在英語で行われている手順で学ぶのが一番賢いからにほかならない。
『日本語教育と英語教育』
日本人が日本語を日本国内でまなぶとき、おおよそは次の順で習う。
家庭学習→学校教育での単純な読み・書き→日本語文法→小説・評論の読み・書き
おおよそ間違いないはずだ。家庭学習が充実できない場合であっても、小学校に入ってから自分の名前を話せるようになるケースというのは少数派であることは疑いがなかろう。
その後、ひらがな・カタカナ・漢字と文字を増やしていき、小学校高学年になると同時に、日本語の助詞・助動詞を正しく使うことを強いられ、体言・用言などという分類や自立語・付属語などという分類を続けることで、日本語を細分化して理解することを可能にする。
そこまで学んでから、長い文章を読んでいき、その中の一文一文を、緻密に読解していくことにより、長い文章を読解することができるのだ。
さて、この学習方法・学習手順に既視感はないだろうか。
言うまでもないが、日本人が英語を日本国内で学ぶとき、同様の手順で学ぶことになっているのだ。
少なくとも、日本語教育についての手順が疑問視されない限り、英語教育のみを変えることには一貫性がなくなるのだ。
『文法を学ぶべき時期と意義』
結果として、我々は英語を理解するために英語文法を学ぶしかない。「いやいや、単語が分かれば十分ですよ」などとのたまう輩には、
Please check whether the phrase is grammatically correct.
という文を送ったうえで、この文を和訳させてみようと思う。意味が通じるかどうかではなく、「正しい訳かどうか」という点が論点だが、その違いは、今度の話題にしよう。
2020年7月29日水曜日
大学入試数学から見る 正しい数学の理解方法 数Ⅲ 複素数平面編 その５
\(|z+w-1-i|\)の最大値は
\(|2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)の最大値であり、
このとき、\(\theta_{1}=\theta_{2}\)となる。
というのまでが、第４回のあらすじである。
このとき、\(z-1=w-i=\cos\theta_{1}+i \sin\theta_{1}\) であることも付け加えておこう。
今回は\(|z+w|^2\)の最大値を求めるという話なのだが、
前回までのあらすじにより、
\(z=1+\cos\theta_{1}+i \sin\theta_{1}\) かつ \(w=i+\cos\theta_{1}+i \sin\theta_{1}\)
はただちに言える。
よって、\(z+w=(1+2\cos\theta_{1})+i(1+2\sin\theta_{1})\) である。
したがって、
\(|z+w|^2\)
\(=(1+2\cos\theta_{1})^2+(1+2\sin\theta_{1})^2\)
\(=1+4\cos\theta_{1}+4\cos^2\theta_{1}+1+4\sin\theta_{1}+4\sin^2\theta_{1}\)
\(=6+4\sqrt{2}\sin(\theta_{1}+\frac{\pi}{4})\)
ここまでくればあとは何も解説はいらないだろう。
\(|z+w|^2\)の最大値は\(6+4\sqrt{2}\)であり、このとき\(\theta_{1}=\frac{\pi}{4}\)
結局この問題は何だったのかといえば、
複素数平面とそれに関する定義を延々と尋ねるだけの問題であった。
要するに、数学において一番大事なのは、定義の理解にほかならず、
複素数平面が難しいという言葉は全く持って意味不明なのである。
2020年7月28日火曜日
大学入試数学から見る 正しい数学の理解方法 数Ⅲ 複素数平面編 その４
\(z+w-1-i=2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}\)
にたいして、
\(|z+w-1-i|\)の最大値を求めるというのだが、簡単すぎないだろうか？
要するに、\(|2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)
の最大値を求めることに他ならない。
なにしろ、\(|\alpha \beta |=|\alpha ||\beta |\) となることから、
\(|2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)
\(=2|(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} )|| \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)
と変形すれば、なんとなくオチが見えてくる。
\(|\cos \theta +i \sin \theta |=\sqrt{\cos^{2}\theta+\sin^{2}\theta}=1\)であるから、
\(|(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} )|=1\)
となって、
\(|z+w-1-i|=2|\cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|\)
すなわち結局\(\cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}\)だけ真面目に考えればよいのだ。
これが最大となるとき、\(|\cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}|=1\)
であり、\(\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}=0\)
となる。本来は、偏角の大きさから\(\pm k\pi\) ただし\(k\)は整数 としたうえで、上記の1つのみが解であることを示すのだが、今回は\(|k|=1\)さえ、\(\theta_{1}-\theta_{2}=2\pi\)となり、0以外はままならない。
もちろん、\(|z+w-1-i|\)の最大値は\(2\)だし、このとき、\(\theta_{1}=\theta_{2}\)
となる。ではこのときどうなるかといえば、
\(z-1=w-i=\cos\theta_{1}+i \sin\theta_{1}\)
もちろん、\(z-w=1-i\)はただちに言えよう。
結局、この問題は何を目的とした問題かわからずに終わりそうだが、
最後の最後、このときの\(|z+w|^2\)だけは骨がある問題である。
次回に続く。
2020年7月25日土曜日
大学入試数学から見る 正しい数学の理解方法 数Ⅲ 複素数平面編 その３
偏角とは何ぞや、というのが、前回のあらすじだったか。
偏角とは、ある点\(z\)と原点を結ぶ直線が実軸の正の方向となす角の大きさを表す単位である。
つまり、\(z\)の偏角はとりもなおさず、
\(z=r(\cos \theta + \sin \theta )\)を満たす角\(\theta\) に他ならない。
今回は、\(z-1\)の偏角を\(\theta _{1}\)としており、\(|z-1|=1\)であるから、
\(z-1=\cos \theta_{1} + \sin \theta_{1} \)
となる。
同様に、
\(w-i=\cos \theta_{2} + \sin \theta_{2} \)
は言うまでもあるまい。
東海大入試問題に戻れば、\(z+w-1-i\)を求めよなどとのたまうわけで、
単純に辺々を足し合わせて
\(z-1+w-i=\cos \theta_{1} + \sin \theta_{1} +\cos \theta_{2} + \sin \theta_{2} \)
と表されるわけだが、どうも、解答の形に合わない。
解答欄は
ウ\((\cos エ +i \sin エ ) \cos オ\)
の形であり、先ほどの解答では変形の必要性がありそうだ。
ちなみに答えから言えば、
\(z+w-1-i=2(\cos \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2}+i \sin \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} ) \cos \frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{2}\)
となり、和積の公式なる三角関数の公式を用いれば変形できる。これをちなみにで論ずる理由は、これは、今回の複素数平面とは関係のない話であって数学Ⅱの内容が分かっているかどうかに過ぎないからだ。和積や三角関数については別の機会にでも。
結果として、きれいな形で式を作れて、次には最大値の議論を始めるのだが、これも三角関数の理解に依存する部分が大きいため、次回に回そう。
今回は偏角とは、定義に当てはめるだけの単純なものであるというのがまとめだ。
2020年7月23日木曜日
高校数学をリタイアした人のための数学 第3回 ～定理と公式ってなんだ？～
正三角形は3辺の長さがすべて等しい三角形である。
今，挙げたのは，正三角形の定義である。思い返せば，小学校のころ，コンパスと定規を使って正三角形を描いていただろう。コンパスは，長さをはかりとる道具であり，定規は直線を引く道具だったはずだ。だとすると，正三角形をかくのに，小学生の我々は，3辺の長さだけに注目していたことがわかる。実に素晴らしい定義である。
正三角形の3つの角の大きさはすべて等しい。
今，挙げたのは何だろうか。ちなみに，これが事実であることは，だれも疑うはずがない。最初に正三角形をならう小学生は，正三角形とは辺の長さも角の大きさも同じであることを定規や分度器を使って調べ，真実であることを知るからだ。
では，これは定義だろうか。いや，定義ではない。なぜなら，定義は3辺が等しいという先ほどのものだからだ。では，この正しいとわかっている角の話は…。
勘が良ければ，本章のタイトルに目が行くのかもしれない。要するに，これが『定理』である。
定理とは何かを簡単に言うと，定義や定理から簡単に証明できる事柄のことである。
ここで，いったん数学の言葉を紹介する。
命題 真偽がただ一通りに定まる事柄
真 命題がいつも正しいこと
偽 命題がいつも正しいとは限らないこと
証明 ある命題が真であると明らかにすること
反例 命題が偽だとわかる例
いろいろな言葉を一気に紹介したので，頭が混乱するといけない。2つの例を挙げておこう。
例1 命題 \(x = 0\)
証明
真偽 この命題は真である。
例2 命題
反例
真偽 この命題は偽である。
話は前回に戻る。数学者というオタクたちは何をしているのかという話だったが，要するに，命題を作っては，それが真偽いずれなのかを考え，証明するという作業をしている。上の2つの例のように，数学とは，ありとあらゆることを命題と考え，それを示すことでそのものについて分かったと考える学問なのである。先ほど以来，説明が大事とか，正解よりも理解が大事とか申し上げているのは，この考えが根底にあっての話である。
ところで，証明という言葉が出てから，アレルギー反応を起こしている方はいないだろうか。まずは，ご安心いただきたいが，本章では，証明についてあれこれをするつもりは一切ない。なぜなら，証明もまた，数学が苦手になるきっかけであるからだ。ただ，証明の仕方云々はさておき，証明というのが数学の本質であるという認識だけは持っていていただきたい。そう，この価値観の部分が一番相容れない部分であり，数学を嫌いに，苦手になる根本原因なのだ。
まあ，そうして証明したことというのは，たいていが使えないものであることが多い。先に紹介したフェルマーの最終定理も現代社会にどう役立っているのかを正しく伝えきることは難しい。
しかし，数学世界の中で役立つことというのは数多くある。そうして，定義から簡単に証明ができて，数学の世界でいくらでも役立たせることができるものを定理と呼んで，しょっちゅう使うことにした。要するに定義とは，偉大なる先人が真であることを証明した，よく使われる命題のことである。だからこそ，定理として皆に知ってもらおう，皆に使ってもらおうという気持ちで善意から教えているのだ。
ここまで長々と書いてはみたが，数学が苦手な方にも是非分かってほしいのは，定義とは違うというその一点である。簡単な言葉でまとめよう。
定義 きまり・ルール
定理 法則・便利機能
ということだ。そして，定理はすべて証明が可能であることも忘れないでほしい。ちなみに，たいていの定理は，教科書の中で証明がされているはずである。
定理の類似品として公式というのがある。公式は計算に使える定理 のことである。一般的には，公式内の文字に，数や式を当てはめるだけで答えが出るものを指す。言うまでもないがこれも先人の知恵であり，知っておいて損がないことである。
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